INTEGRAL & APLIKASINYA DLM EKONOMI
INTEGRAL DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI
A. Integral
Taktentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti
mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x). Proses pengintegralan
disebut juga integrasi. Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) dx = F(x) + k
Di mana : ∫ : tanda integral F(x) : integral particular
f(x)
dx : diferensial dari F(x) k : konstanta pengintegralan
F(x)
+ k : fungsi asli/fungsi asal
Contoh :
Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5 fungsi
turunannya adalah f(x) = d F(x) = 2x.
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x)
diintegralkan, maka : ∫ f(x)dx = F(x) + k = x2
+ k.
Notes : karena
derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap
fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Artinya nilai konstanta
tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu kecuali
jika di dalam soal sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan
nilai konstanta itulah bentuk integral yang merupakan kebalikan dari
diferensial dinamakan integral taktentu.
1) Kaidah
Integral Taktentu
Integral pangkat
∫ xn
dx = xn+1 + k n
≠ -1
n + 1
contoh:
∫ 4 dx = 4x0+1 + k = 4x + k
0 + 1
2) Penerapan
dalam Ekonomi
Integral Taktentu dalam ekonomi dapat diaplikasikan
untuk membuat fungsi total dari suatu fungsi marginal; seperti fungsi biaya dan
penerimaan total, fungsi utilitas total serta fungsi produksi total.
Contoh :
1. Biaya marjinal suatu perusahaan
ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya
totalnya! Jika diketahui biaya tetapnya Rp. 4, tentukanlah besarnya biaya
totalnya!
Diketahui : MC = 3Q2 - 6Q + 4 FC = k = 4
Ditanya : pers. C.…? C jika k = 4....?
Penyelesaian:
C = f(Q) → MC = C′
Biaya total →
C = ∫ MC dQ = ∫ f′ (Q) dQ
adalah
integrasi C = ∫ MCdQ
dari biaya
marginal
= ∫ (3Q2 - 6Q + 4) dQ
= 3 Q2+1 – 6 Q1+1
+ 4 Q0+1
2+1 1+1 0+1
= 3 Q3 – 6
Q2 + 4 Q1
3 2 1
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Jika k = 4 → C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
2. Carilah persamaan penerimaan
total dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q!
Diketahui : MR = 16 – 4Q
Ditanya : pers. R….?
Penyelesaian:
R = f(Q) → MR = R′
Penerimaan total → R =
∫ MR dQ = ∫ f′ (Q) dQ
adalah integral dari R =
∫ MR dQ
penerimaan marjinal = ∫ (16 –
4Q) dQ
=
16Q – 2Q2
Notes : Dalam persamaan
penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada
barang yang dihasilkan atau terjual.
3.
Carilah
persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU =
90 – 10Q!
Diketahui : MU
= 90 – 10Q
Ditanya : pers. U….?
Penyelesaian:
U = f(Q) → MU = U′
Utilitas total → U =
∫ MU dQ = f′ (Q) dQ
adalah integral dari U = ∫ MU dQ
utilitas marjinal U = ∫ (90 – 10Q) dQ U =
90Q – 5Q2
Notes : Dalam persamaan utilitas total konstanta k
= 0, sebab kepuasan konsumen tidak akan ada jika tak ada barang yang dikonsumsi
4.
Produk
marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah
persamaan produk totalnya!
Diketahui : MP
= 18x – 3x2
Ditanya : pers. P….?
Penyelesaian :
P = f(x) di mana : P
: hasil produksi, x : faktor
produksi
→ MP = P′
Produk total P = ∫ MPdX = ∫ f′ (x) dX
adalah integral dari P = ∫ MPdX
produk marjinal P = ∫ (18x – 3x2 ) dX
P = 9x2 – x3
B. Integral
Tertentu
Adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai
variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. Integral jenis ini digunakan
untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dan
sumbu-horizontal (x), dalam suatu rentang wilayah yang dibatasi oleh x = a dan
x = b. Bentuk umumnya :
b b
∫ f(x)dx =
[ F(x) ] =
F(b) - F(a)
a a
di mana : a (batas-atas integrasi) a < b – a (batas-bawah integrasi)
contoh :
5
5 5
∫ x4 dx = [ x4+1 ] = 1[x5]
= 1 ( 55 – 25)
= 1 ( 3125 – 32)
2 4 + 1 2 5
2 5 5
=
618,6
Penerapan
dalam Ekonomi
a.
Surplus Konsumen
Mencerminkan suatu keuntungan
lebih (surplus) yang dinikmati konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga
pasar suatu barang. Dalam grafik, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh
luas area di bawah kurva permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar. Bentuk
umum surplus konsumen:
Qe P
Cs
= ∫ f(Q) dQ – Qe
Pe atau ∫ f(P) dP
0 Pe
b. Surplus
Produsen
Mencerminkan suatu keuntungan
lebih (surplus) yang dinikmati produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga
pasar dari barang yang ditawarkan. Dalam grafik, besarnya surplus produsen
ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat
harga pasar. Bentuk umum surplus produsen:
Qe P e
Ps
= Qe Pe – ∫
f(Q) dQ atau
∫ f(P) dP
0 P
Contoh:
Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang di pasar masing-masing
dinyatakan dalam persamaan Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah surplus
konsumen dan produsen!
Diketahui : permintaan
: Q = 60 – 4P → P = 15
– 0,25Q
Penawaran
: Q = -30 + 5P → P = 6 +
0,2Q
Ditanya : Cs….? Ps….?
Penyelesaian :
Formula keseimbangan : Qd = Qs
60 – 4P
= -30 + 5P
5P + 4P
= 60 + 30
9P
= 90
P =
10 ………………. (P = Pe)
P = 10 → Q = 60 – 4P
Q = 60 – 4(10)
Q
= 60 – 40 = 20 …….........
(Q = Qe)
Jadi, Qe = 20 dan Pe = 10
*Surplus Konsumen
Cara I:
Qe
Cs = ∫ f(Q) dQ – Qe Pe
0
20
Cs = ∫ (15 – 0,25Q) dQ – (20)(10)
0
20
Cs = [15Q – 0,125Q2] –
200
0
Cs =
((15.20) – 0,125(20)2) – (15.0) – 0,125(0) 2) - 200
Cs = ((300 –
50) – 0) - 200
= 250 – 200
= 50
Cara II:
Q = 60 – 4P
Jika P = 0 → Q = 60
Jika Q = 0 → P = 15 ………………(P = P)
P 15
Cs
= ∫
f(P) dP → Cs = ∫
( 60 – 4P )dP
Pe
10
15
Cs
= [ 60P – 2P2 ] → Cs = { 60(15) – 2(15)2 } – { 60(10) –
2(10)2 }
10
Cs = ( 900 - 450 ) – (
600 – 200 )
Cs
= 450 – 400
= 50
Jadi,
surplus konsumen adalah 50
*Surplus
Produsen
Cara I:
Qe
Ps
= Qe Pe – ∫ f(Q) dQ
0
Qe
Ps
= (20)(10) – ∫ f(6 + 0,2Q) dQ
0
20
Ps
= 200 – [6Q + 0,1Q2]
0
Ps
= 200 – ((6.20) + (0,1(20)2)
– (6.0) + (0,1(0) 2)
Ps
= 200 – ((120 + 40) – 0)
= 200 – 160
= 40
Cara II:
Q = -30 + 5P
Jika P = 0 → Q = - 30
Jika Q = 0 → P = 6 ………………(P = P)
Pe 10
Ps
= ∫ f(P) dP → Ps
= ∫ (-30 + 5P )dP
P
6
10
Ps
= [ -30P + 2,5P2 ]
6
Ps
= { -30(10) + 2,5(10)2 } – { -30(6) + 2,5(6)2 }
Ps
= ( -300 + 250 ) – ( -180 + 90 )
Ps
= -50 + 90
= 40
Jadi,
surplus produsen adalah 40
